Метод наименьших квадратов определение. Разработка прогноза с помощью метода наименьших квадратов. Пример решения задачи
Одним из методов изучения стохастических связей между признаками является регрессионный анализ .
Регрессионный анализ представляет собой вывод уравнения регрессии, с помощью которого находится средняя величина случайной переменной (признака-результата), если величина другой (или других) переменных (признаков-факторов) известна. Он включает следующие этапы:
- выбор формы связи (вида аналитического уравнения регрессии);
- оценку параметров уравнения;
- оценку качества аналитического уравнения регрессии.
В случае линейной парной связи уравнение регрессии примет вид: y i =a+b·x i +u i . Параметры данного уравнения а и b оцениваются по данным статистического наблюдения x и y . Результатом такой оценки является уравнение: , где , - оценки параметров a и b , - значение результативного признака (переменной), полученное по уравнению регрессии (расчетное значение).
Наиболее часто для оценки параметров используют метод наименьших квадратов (МНК).
Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (u) и независимой переменной (x) (см. предпосылки МНК).
Задача оценивания параметров линейного парного уравнения методом наименьших квадратов
состоит в следующем: получить такие оценки параметров , , при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака - y i от расчетных значений – минимальна.
Формально критерий МНК
можно записать так: 
.
Классификация методов наименьших квадратов
- Метод наименьших квадратов.
- Метод максимального правдоподобия (для нормальной классической линейной модели регрессии постулируется нормальность регрессионных остатков).
- Обобщенный метод наименьших квадратов ОМНК применяется в случае автокорреляции ошибок и в случае гетероскедастичности.
- Метод взвешенных наименьших квадратов (частный случай ОМНК с гетероскедастичными остатками).
Проиллюстрируем суть классического метода наименьших квадратов графически
. Для этого построим точечный график по данным наблюдений (x i , y i , i=1;n) в прямоугольной системе координат (такой точечный график называют корреляционным полем). Попытаемся подобрать прямую линию, которая ближе всего расположена к точкам корреляционного поля. Согласно методу наименьших квадратов линия выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками корреляционного поля и этой линией была бы минимальной.
Математическая запись данной задачи: 
.
Значения y i и x i =1...n нам известны, это данные наблюдений. В функции S они представляют собой константы. Переменными в данной функции являются искомые оценки параметров - , . Чтобы найти минимум функции 2-ух переменных необходимо вычислить частные производные данной функции по каждому из параметров и приравнять их нулю, т.е. 
.
В результате получим систему из 2-ух нормальных линейных уравнений: 
Решая данную систему, найдем искомые оценки параметров:
Правильность расчета параметров уравнения регрессии может быть проверена сравнением сумм (возможно некоторое расхождение из-за округления расчетов).
Для расчета оценок параметров , можно построить таблицу 1.
Знак коэффициента регрессии b указывает направление связи (если b >0, связь прямая, если b <0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Формально значение параметра а – среднее значение y при х равном нулю. Если признак-фактор не имеет и не может иметь нулевого значения, то вышеуказанная трактовка параметра а не имеет смысла.
Оценка тесноты связи между признаками
осуществляется с помощью коэффициента линейной парной корреляции - r x,y .
Он может быть рассчитан по формуле: 
. Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b: 
.
Область допустимых значений линейного коэффициента парной корреляции от –1 до +1. Знак коэффициента корреляции указывает направление связи. Если r x, y >0, то связь прямая; если r x, y <0, то связь обратная.
Если данный коэффициент по модулю близок к единице, то связь между признаками может быть интерпретирована как довольно тесная линейная. Если его модуль равен единице ê r x , y ê =1, то связь между признаками функциональная линейная.
Если признаки х и y линейно независимы, то r x,y близок к 0.
Для расчета r x,y можно использовать также таблицу 1.
Для оценки качества полученного уравнения регрессии рассчитывают теоретический коэффициент детерминации – R 2 yx:
,
где d 2 – объясненная уравнением регрессии дисперсия y ;
e 2 - остаточная (необъясненная уравнением регрессии) дисперсия y ;
s 2 y - общая (полная) дисперсия y .
Коэффициент детерминации характеризует долю вариации (дисперсии) результативного признака y , объясняемую регрессией (а, следовательно, и фактором х), в общей вариации (дисперсии) y . Коэффициент детерминации R 2 yx принимает значения от 0 до 1. Соответственно величина 1-R 2 yx характеризует долю дисперсии y , вызванную влиянием прочих неучтенных в модели факторов и ошибками спецификации.
При парной линейной регрессии R 2 yx =r 2 yx .
Если некоторая физическая величина зависит от другой величины, то эту зависимость можно исследовать, измеряя y при различных значениях x . В результате измерений получается ряд значений:
x 1 , x 2 , ..., x i , ... , x n ;
y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .
По данным такого эксперимента можно построить график зависимости y = ƒ(x). Полученная кривая дает возможность судить о виде функции ƒ(x). Однако постоянные коэффициенты, которые входят в эту функцию, остаются неизвестными. Определить их позволяет метод наименьших квадратов. Экспериментальные точки, как правило, не ложатся точно на кривую. Метод наименьших квадратов требует, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой, т.е. 2 была наименьшей.
На практике этот метод наиболее часто (и наиболее просто) используется в случае линейной зависимости, т.е. когда
y = kx или y = a + bx.
Линейная зависимость очень широко распространена в физике. И даже когда зависимость нелинейная, обычно стараются строить график так, чтобы получить прямую линию. Например, если предполагают, что показатель преломления стекла n связан с длиной λ световой волны соотношением n = a + b/λ 2 , то на графике строят зависимость n от λ -2 .
Рассмотрим зависимость y = kx (прямая, проходящая через начало координат). Составим величину φ сумму квадратов отклонений наших точек от прямой
Величина φ всегда положительна и оказывается тем меньше, чем ближе к прямой лежат наши точки. Метод наименьших квадратов утверждает, что для k следует выбирать такое значение, при котором φ имеет минимум
или
(19)
Вычисление показывает, что среднеквадратичная ошибка определения величины k равна при этом
, (20)
где n число измерений.
Рассмотрим теперь несколько более трудный случай, когда точки должны удовлетворить формуле y = a + bx (прямая, не проходящая через начало координат).
Задача состоит в том, чтобы по имеющемуся набору значений x i , y i найти наилучшие значения a и b.
Снова составим квадратичную форму φ , равную сумме квадратов отклонений точек x i , y i от прямой
и найдем значения a и b , при которых φ имеет минимум
;
.
Совместное решение этих уравнений дает
(21)
Среднеквадратичные ошибки определения a и b равны
(23)
. (24)
При обработке результатов измерения этим методом удобно все данные сводить в таблицу, в которой предварительно подсчитываются все суммы, входящие в формулы (19)(24). Формы этих таблиц приведены в рассматриваемых ниже примерах.
Пример 1. Исследовалось основное уравнение динамики вращательного движения ε = M/J (прямая, проходящая через начало координат). При различных значениях момента M измерялось угловое ускорение ε некоторого тела. Требуется определить момент инерции этого тела. Результаты измерений момента силы и углового ускорения занесены во второй и третий столбцы таблицы 5 .
Таблица 5
| n | M, Н · м | ε, c -1 | M 2 | M · ε | ε - kM | (ε - kM) 2 |
| 1 | 1.44 | 0.52 | 2.0736 | 0.7488 | 0.039432 | 0.001555 |
| 2 | 3.12 | 1.06 | 9.7344 | 3.3072 | 0.018768 | 0.000352 |
| 3 | 4.59 | 1.45 | 21.0681 | 6.6555 | -0.08181 | 0.006693 |
| 4 | 5.90 | 1.92 | 34.81 | 11.328 | -0.049 | 0.002401 |
| 5 | 7.45 | 2.56 | 55.5025 | 19.072 | 0.073725 | 0.005435 |
| ∑ | | | 123.1886 | 41.1115 | | 0.016436 |
По формуле (19) определяем:
.
Для определения среднеквадратичной ошибки воспользуемся формулой (20)
0.005775 кг -1 · м -2 .
По формуле (18) имеем
S J = (2.996 · 0.005775)/0.3337 = 0.05185 кг · м 2 .
Задавшись надежностью P = 0.95 , по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 5, находим t = 2.78 и определяем абсолютную ошибку ΔJ = 2.78 · 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 кг · м 2 .
Результаты запишем в виде:
J = (3.0 ± 0.2) кг · м 2 ;
Пример 2. Вычислим температурный коэффициент сопротивления металла по методу наименьших квадратов. Сопротивление зависит от температуры по линейному закону
R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.
Свободный член определяет сопротивление R 0 при температуре 0° C , а угловой коэффициент произведение температурного коэффициента α на сопротивление R 0 .
Результаты измерений и расчетов приведены в таблице (см. таблицу 6 ).
Таблица 6
| n | t°, c | r, Ом | t-¯ t | (t-¯ t) 2 | (t-¯ t)r | r - bt - a | (r - bt - a) 2 ,10 -6 |
| 1 | 23 | 1.242 | -62.8333 | 3948.028 | -78.039 | 0.007673 | 58.8722 |
| 2 | 59 | 1.326 | -26.8333 | 720.0278 | -35.581 | -0.00353 | 12.4959 |
| 3 | 84 | 1.386 | -1.83333 | 3.361111 | -2.541 | -0.00965 | 93.1506 |
| 4 | 96 | 1.417 | 10.16667 | 103.3611 | 14.40617 | -0.01039 | 107.898 |
| 5 | 120 | 1.512 | 34.16667 | 1167.361 | 51.66 | 0.021141 | 446.932 |
| 6 | 133 | 1.520 | 47.16667 | 2224.694 | 71.69333 | -0.00524 | 27.4556 |
| ∑ | 515 | 8.403 | | 8166.833 | 21.5985 | | 746.804 |
| ∑/n | 85.83333 | 1.4005 | | | | | |
По формулам (21), (22) определяем
R 0 = ¯ R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 · 85.83333 = 1.1735 Ом .
Найдем ошибку в определении α. Так как , то по формуле (18) имеем:
.
Пользуясь формулами (23), (24) имеем
;
0.014126 Ом .
Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для n = 6, находим t = 2.57 и определяем абсолютную ошибку Δα = 2.57 · 0.000132 = 0.000338 град -1 .
α = (23 ± 4) · 10 -4 град
-1 при P = 0.95.
Пример 3. Требуется определить радиус кривизны линзы по кольцам Ньютона. Измерялись радиусы колец Ньютона r m и определялись номера этих колец m. Радиусы колец Ньютона связаны с радиусом кривизны линзы R и номером кольца уравнением
r 2 m = mλR - 2d 0 R,
где d 0 толщина зазора между линзой и плоскопараллельной пластинкой (или деформация линзы),
λ длина волны падающего света.
λ = (600 ± 6) нм;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,
тогда уравнение примет вид y = a + bx .
.Результаты измерений и вычислений занесены в таблицу 7 .
Таблица 7
| n | x = m | y = r 2 , 10 -2 мм 2 | m -¯ m | (m -¯ m) 2 | (m -¯ m)y | y - bx - a, 10 -4 | (y - bx - a) 2 , 10 -6 |
| 1 | 1 | 6.101 | -2.5 | 6.25 | -0.152525 | 12.01 | 1.44229 |
| 2 | 2 | 11.834 | -1.5 | 2.25 | -0.17751 | -9.6 | 0.930766 |
| 3 | 3 | 17.808 | -0.5 | 0.25 | -0.08904 | -7.2 | 0.519086 |
| 4 | 4 | 23.814 | 0.5 | 0.25 | 0.11907 | -1.6 | 0.0243955 |
| 5 | 5 | 29.812 | 1.5 | 2.25 | 0.44718 | 3.28 | 0.107646 |
| 6 | 6 | 35.760 | 2.5 | 6.25 | 0.894 | 3.12 | 0.0975819 |
| ∑ | 21 | 125.129 | | 17.5 | 1.041175 | | 3.12176 |
| ∑/n | 3.5 | 20.8548333 | | | | | |
Я математик-программист. Самый большой скачок в своей карьере я совершил, когда научился говорить:«Я ничего не понимаю!» Сейчас мне не стыдно сказать светилу науки, что мне читает лекцию, что я не понимаю, о чём оно, светило, мне говорит. И это очень сложно. Да, признаться в своём неведении сложно и стыдно. Кому понравится признаваться в том, что он не знает азов чего-то-там. В силу своей профессии я должен присутствовать на большом количестве презентаций и лекций, где, признаюсь, в подавляющем большинстве случаев мне хочется спать, потому что я ничего не понимаю. А не понимаю я потому, что огромная проблема текущей ситуации в науке кроется в математике. Она предполагает, что все слушатели знакомы с абсолютно всеми областями математики (что абсурдно). Признаться в том, что вы не знаете, что такое производная (о том, что это - чуть позже) - стыдно.
Но я научился говорить, что я не знаю, что такое умножение. Да, я не знаю, что такое подалгебра над алгеброй Ли. Да, я не знаю, зачем нужны в жизни квадратные уравнения. К слову, если вы уверены, что вы знаете, то нам есть над чем поговорить! Математика - это серия фокусов. Математики стараются запутать и запугать публику; там, где нет замешательства, нет репутации, нет авторитета. Да, это престижно говорить как можно более абстрактным языком, что есть по себе полная чушь.
Знаете ли вы, что такое производная? Вероятнее всего вы мне скажете про предел разностного отношения. На первом курсе матмеха СПбГУ Виктор Петрович Хавин мне определил
производную как коэффициент первого члена ряда Тейлора функции в точке (это была отдельная гимнастика, чтобы определить ряд Тейлора без производных). Я долго смеялся над таким определением, покуда в итоге не понял, о чём оно. Производная не что иное, как просто мера того, насколько функция, которую мы дифференцируем, похожа на функцию y=x, y=x^2, y=x^3.
Я сейчас имею честь читать лекции студентам, которые боятся математики. Если вы боитесь математики - нам с вами по пути. Как только вы пытаетесь прочитать какой-то текст, и вам кажется, что он чрезмерно сложен, то знайте, что он хреново написан. Я утверждаю, что нет ни одной области математики, о которой нельзя говорить «на пальцах», не теряя при этом точности.
Задача на ближайшее время: я поручил своим студентам понять, что такое линейно-квадратичный регулятор . Не постесняйтесь, потратьте три минуты своей жизни, сходите по ссылке. Если вы ничего не поняли, то нам с вами по пути. Я (профессиональный математик-программист) тоже ничего не понял. И я уверяю, в этом можно разобраться «на пальцах». На данный момент я не знаю, что это такое, но я уверяю, что мы сумеем разобраться.
Итак, первая лекция, которую я собираюсь прочитать своим студентам после того, как они в ужасе прибегут ко мне со словами, что линейно-квадратичный регулятор - это страшная бяка, которую никогда в жизни не осилить, это методы наименьших квадратов . Умеете ли вы решать линейные уравнения? Если вы читаете этот текст, то скорее всего нет.
Итак, даны две точки (x0, y0), (x1, y1), например, (1,1) и (3,2), задача найти уравнение прямой, проходящей через эти две точки:
иллюстрация
Эта прямая должна иметь уравнение типа следующего:
Здесь альфа и бета нам неизвестны, но известны две точки этой прямой:
Можно записать это уравнение в матричном виде:
Тут следует сделать лирическое отступление: что такое матрица? Матрица это не что иное, как двумерный массив. Это способ хранения данных, более никаких значений ему придавать не стоит. Это зависит от нас, как именно интерпретировать некую матрицу. Периодически я буду её интерпретировать как линейное отображение, периодически как квадратичную форму, а ещё иногда просто как набор векторов. Это всё будет уточнено в контексте.
Давайте заменим конкретные матрицы на их символьное представление:
Тогда (alpha, beta) может быть легко найдено:
Более конкретно для наших предыдущих данных:
Что ведёт к следующему уравнению прямой, проходящей через точки (1,1) и (3,2):
Окей, тут всё понятно. А давайте найдём уравнение прямой, проходящей через три точки: (x0,y0), (x1,y1) и (x2,y2):
Ой-ой-ой, а ведь у нас три уравнения на две неизвестных! Стандартный математик скажет, что решения не существует. А что скажет программист? А он для начала перепишет предыдующую систему уравнений в следующем виде:
В нашем случае векторы i,j,b трёхмерны, следовательно, (в общем случае) решения этой системы не существует. Любой вектор (alpha\*i + beta\*j) лежит в плоскости, натянутой на векторы (i, j). Если b не принадлежит этой плоскости, то решения не существует (равенства в уравнении не достичь). Что делать? Давайте искать компромисс. Давайте обозначим через e(alpha, beta) насколько именно мы не достигли равенства:
И будем стараться минимизировать эту ошибку:
Почему квадрат?
Мы ищем не просто минимум нормы, а минимум квадрата нормы. Почему? Сама точка минимума совпадает, а квадрат даёт гладкую функцию (квадратичную функцию от агрументов (alpha,beta)), в то время как просто длина даёт функцию в виде конуса, недифференцируемую в точке минимума. Брр. Квадрат удобнее.
Очевидно, что ошибка минимизируется, когда вектор e ортогонален плоскости, натянутой на векторы i и j .
Иллюстрация
Иными словами: мы ищем такую прямую, что сумма квадратов длин расстояний от всех точек до этой прямой минимальна:
UPDATE: тут у меня косяк, расстояние до прямой должно измеряться по вертикали, а не ортогональной проекцией. Вот этот комментатор прав.
Иллюстрация
Совсеми иными словами (осторожно, плохо формализовано, но на пальцах должно быть ясно): мы берём все возможные прямые между всеми парами точек и ищем среднюю прямую между всеми:
Иллюстрация
Иное объяснение на пальцах: мы прикрепляем пружинку между всеми точками данных (тут у нас три) и прямой, что мы ищем, и прямая равновесного состояния есть именно то, что мы ищем.
Минимум квадратичной формы
Итак, имея данный вектор b и плоскость, натянутую на столбцы-векторы матрицы A (в данном случае (x0,x1,x2) и (1,1,1)), мы ищем вектор e с минимум квадрата длины. Очевидно, что минимум достижим только для вектора e , ортогонального плоскости, натянутой на столбцы-векторы матрицы A :Иначе говоря, мы ищем такой вектор x=(alpha, beta), что:
Напоминаю, что этот вектор x=(alpha, beta) является минимумом квадратичной функции ||e(alpha, beta)||^2:
Тут нелишним будет вспомнить, что матрицу можно интерпретирвать в том числе как и квадратичную форму, например, единичная матрица ((1,0),(0,1)) может быть интерпретирована как функция x^2 + y^2:
квадратичная форма
Вся эта гимнастика известна под именем линейной регрессии .
Уравнение Лапласа с граничным условием Дирихле
Теперь простейшая реальная задача: имеется некая триангулированная поверхность, необходимо её сгладить. Например, давайте загрузим модель моего лица:
Изначальный коммит доступен . Для минимизации внешних зависимостей я взял код своего софтверного рендерера, уже на хабре. Для решения линейной системы я пользуюсь OpenNL , это отличный солвер, который, правда, очень сложно установить: нужно скопировать два файла (.h+.c) в папку с вашим проектом. Всё сглаживание делается следующим кодом:
For (int d=0; d<3; d++) {
nlNewContext();
nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size());
nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE);
nlBegin(NL_SYSTEM);
nlBegin(NL_MATRIX);
for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) {
nlBegin(NL_ROW);
nlCoefficient(i, 1);
nlRightHandSide(verts[i][d]);
nlEnd(NL_ROW);
}
for (unsigned int i=0; i
X, Y и Z координаты отделимы, я их сглаживаю по отдельности. То есть, я решаю три системы линейных уравнений, каждое имеет количество переменных равным количеству вершин в моей модели. Первые n строк матрицы A имеют только одну единицу на строку, а первые n строк вектора b имеют оригинальные координаты модели. То есть, я привязываю по пружинке между новым положением вершины и старым положением вершины - новые не должны слишком далеко уходить от старых.
Все последующие строки матрицы A (faces.size()*3 = количеству рёбер всех треугольников в сетке) имеют одно вхождение 1 и одно вхождение -1, причём вектор b имеет нулевые компоненты напротив. Это значит, я вешаю пружинку на каждое ребро нашей треугольной сетки: все рёбра стараются получить одну и ту же вершину в качестве отправной и финальной точки.
Ещё раз: переменными являются все вершины, причём они не могут далеко отходить от изначального положения, но при этом стараются стать похожими друг на друга.
Вот результат:
Всё бы было хорошо, модель действительно сглажена, но она отошла от своего изначального края. Давайте чуть-чуть изменим код:
For (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }
В нашей матрице A я для вершин, что находятся на краю, добавляю не строку из разряда v_i = verts[i][d], а 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Что это меняет? А меняет это нашу квадратичную форму ошибки. Теперь единичное отклонение от вершины на краю будет стоить не одну единицу, как раньше, а 1000*1000 единиц. То есть, мы повесили более сильную пружинку на крайние вершины, решение предпочтёт сильнее растянуть другие. Вот результат:
Давайте вдвое усилим пружинки между вершинами:
nlCoefficient(face[ j ], 2);
nlCoefficient(face[(j+1)%3], -2);
Логично, что поверхность стала более гладкой:
А теперь ещё в сто раз сильнее:
Что это? Представьте, что мы обмакнули проволочное кольцо в мыльную воду. В итоге образовавшаяся мыльная плёнка будет стараться иметь наименьшую кривизну, насколько это возможно, касаясь-таки границы - нашего проволочного кольца. Именно это мы и получили, зафиксировав границу и попросив получить гладкую поверхность внутри. Поздравляю вас, мы только что решили уравнение Лапласа с граничными условиями Дирихле. Круто звучит? А на деле всего-навсего одну систему линейных уравнений решить.
Уравнение Пуассона
Давайте ещё крутое имя вспомним.Предположим, что у меня есть такая картинка:
Всем хороша, только стул мне не нравится.
Разрежу картинку пополам:
И выделю руками стул:
Затем всё, что белое в маске, притяну к левой части картинки, а заодно по всей картинке скажу, что разница между двумя соседними пикселями должна равняться разнице между двумя соседними пикселями правой картинки:
For (int i=0; i Вот результат: У меня есть некоторое количество фотографий образцов ткани типа вот такой: Моя задача сделать бесшовные текстуры из фотографий вот такого качества. Для начала я (автоматически) ищу повторяющийся паттерн: Если я вырежу прямо вот этот четырёхугольник, то из-за искажений у меня края не сойдутся, вот пример четыре раза повторённого паттерна: Скрытый текст
Вот фрагмент, где чётко видно шов: Поэтому я вырезать буду не по ровной линии, вот линия разреза: Скрытый текст
А вот повторённый четыре раза паттерн: Скрытый текст
И его фрагмент, чтобы было виднее: Уже лучше, рез шёл не по прямой линии, обойдя всякие завитушки, но всё же шов виден из-за неравномерности освещения на оригинальной фотографии. Вот тут-то и приходит на помощь метод наименьших квадратов для уравнения Пуассона. Вот конечный результат после выравнивания освещения: Текстура получилась отлично бесшовной, и всё это автоматически из фотографии весьма посредственного качества. Не бойтесь математики, ищите простые объяснения, и будет вам инженерное счастье. Метод наименьших квадратов (МНК, англ. Ordinary Least Squares, OLS
)
- математический метод, применяемый для решения различных задач, основанный на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных. Он может использоваться для «решения» переопределенных систем уравнений (когда количество уравнений превышает количество неизвестных), для поиска решения в случае обычных (не переопределенных) нелинейных систем уравнений, для аппроксимации точечных значений некоторой функции. МНК является одним из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. 1
/
5 ✪ Метод наименьших квадратов. Тема ✪ Метод наименьших квадратов, урок 1/2. Линейная функция ✪ Эконометрика. Лекция 5 .Метод наименьших квадратов ✪ Митин И. В. - Обработка результатов физ. эксперимента - Метод наименьших квадратов (Лекция 4) ✪ Эконометрика: Суть метода наименьших квадратов #2 До начала XIX в. учёные не имели определённых правил для решения системы уравнений , в которой число неизвестных меньше, чем число уравнений; до этого времени употреблялись частные приёмы, зависевшие от вида уравнений и от остроумия вычислителей, и потому разные вычислители, исходя из тех же данных наблюдений, приходили к различным выводам. Гауссу (1795) принадлежит первое применение метода, а Лежандр (1805) независимо открыл и опубликовал его под современным названием (фр. Méthode des moindres quarrés
) . Лаплас связал метод с теорией вероятностей , а американский математик Эдрейн (1808) рассмотрел его теоретико-вероятностные приложения . Метод распространён и усовершенствован дальнейшими изысканиями Энке , Бесселя , Ганзена и других. Пусть
x
{\displaystyle x}
- набор
n
{\displaystyle n}
неизвестных переменных (параметров),
f
i
(x)
{\displaystyle f_{i}(x)}
, ,
m
>
n
{\displaystyle m>n}
- совокупность функций от этого набора переменных. Задача заключается в подборе таких значений
x
{\displaystyle x}
, чтобы значения этих функций были максимально близки к некоторым значениям
y
i
{\displaystyle y_{i}}
. По существу речь идет о «решении» переопределенной системы уравнений
f
i
(x)
=
y
i
{\displaystyle f_{i}(x)=y_{i}}
,
i
=
1
,
…
,
m
{\displaystyle i=1,\ldots ,m}
в указанном смысле максимальной близости левой и правой частей системы. Сущность МНК заключается в выборе в качестве «меры близости» суммы квадратов отклонений левых и правых частей
|
f
i
(x)
−
y
i
|
{\displaystyle |f_{i}(x)-y_{i}|}
. Таким образом, сущность МНК может быть выражена следующим образом: В случае, если система уравнений имеет решение, то минимум суммы квадратов будет равен нулю и могут быть найдены точные решения системы уравнений аналитически или, например, различными численными методами оптимизации. Если система переопределена, то есть, говоря нестрого, количество независимых уравнений больше количества искомых переменных, то система не имеет точного решения и метод наименьших квадратов позволяет найти некоторый «оптимальный» вектор
x
{\displaystyle x}
в смысле максимальной близости векторов
y
{\displaystyle y}
и
f
(x)
{\displaystyle f(x)}
или максимальной близости вектора отклонений
e
{\displaystyle e}
к нулю (близость понимается в смысле евклидова расстояния). В частности, метод наименьших квадратов может использоваться для «решения» системы линейных уравнений где
A
{\displaystyle A}
прямоугольная матрица размера
m
×
n
,
m
>
n
{\displaystyle m\times n,m>n}
(т.е. число строк матрицы A больше количества искомых переменных). Такая система уравнений в общем случае не имеет решения. Поэтому эту систему можно «решить» только в смысле выбора такого вектора
x
{\displaystyle x}
, чтобы минимизировать «расстояние» между векторами
A
x
{\displaystyle Ax}
и
b
{\displaystyle b}
. Для этого можно применить критерий минимизации суммы квадратов разностей левой и правой частей уравнений системы, то есть
(A
x
−
b)
T
(A
x
−
b)
→
min
x
{\displaystyle (Ax-b)^{T}(Ax-b)\rightarrow \min _{x}}
. Нетрудно показать, что решение этой задачи минимизации приводит к решению следующей системы уравнений Пусть имеется
n
{\displaystyle n}
значений некоторой переменной
y
{\displaystyle y}
(это могут быть результаты наблюдений, экспериментов и т. д.) и соответствующих переменных
x
{\displaystyle x}
. Задача заключается в том, чтобы взаимосвязь между
y
{\displaystyle y}
и
x
{\displaystyle x}
аппроксимировать некоторой функцией , известной с точностью до некоторых неизвестных параметров
b
{\displaystyle b}
, то есть фактически найти наилучшие значения параметров
b
{\displaystyle b}
, максимально приближающие значения
f
(x
,
b)
{\displaystyle f(x,b)}
к фактическим значениям
y
{\displaystyle y}
. Фактически это сводится к случаю «решения» переопределенной системы уравнений относительно
b
{\displaystyle b}
: F
(x
t
,
b)
=
y
t
,
t
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle f(x_{t},b)=y_{t},t=1,\ldots ,n}
. В регрессионном анализе и в частности в эконометрике используются вероятностные модели зависимости между переменными Y
t
=
f
(x
t
,
b)
+
ε
t
{\displaystyle y_{t}=f(x_{t},b)+\varepsilon _{t}}
, где
ε
t
{\displaystyle \varepsilon _{t}}
- так называемые случайные ошибки
модели. Соответственно, отклонения наблюдаемых значений
y
{\displaystyle y}
от модельных
f
(x
,
b)
{\displaystyle f(x,b)}
предполагается уже в самой модели. Сущность МНК (обычного, классического) заключается в том, чтобы найти такие параметры
b
{\displaystyle b}
, при которых сумма квадратов отклонений (ошибок, для регрессионных моделей их часто называют остатками регрессии)
e
t
{\displaystyle e_{t}}
будет минимальной: где
R
S
S
{\displaystyle RSS}
- англ. Residual Sum of Squares
определяется как: В общем случае решение этой задачи может осуществляться численными методами оптимизации (минимизации). В этом случае говорят о нелинейном МНК
(NLS или NLLS - англ. Non-Linear Least Squares
). Во многих случаях можно получить аналитическое решение. Для решения задачи минимизации необходимо найти стационарные точки функции
R
S
S
(b)
{\displaystyle RSS(b)}
, продифференцировав её по неизвестным параметрам
b
{\displaystyle b}
, приравняв производные к нулю и решив полученную систему уравнений: Пусть регрессионная зависимость является линейной: Пусть y
- вектор-столбец наблюдений объясняемой переменной, а
X
{\displaystyle X}
- это
(n
×
k)
{\displaystyle ({n\times k})}
-матрица наблюдений факторов (строки матрицы - векторы значений факторов в данном наблюдении, по столбцам - вектор значений данного фактора во всех наблюдениях). Матричное представление линейной модели имеет вид: Тогда вектор оценок объясняемой переменной и вектор остатков регрессии будут равны соответственно сумма квадратов остатков регрессии будет равна Дифференцируя эту функцию по вектору параметров
b
{\displaystyle b}
и приравняв производные к нулю, получим систему уравнений (в матричной форме): В расшифрованной матричной форме эта система уравнений выглядит следующим образом:
(∑
x
t
1
2
∑
x
t
1
x
t
2
∑
x
t
1
x
t
3
…
∑
x
t
1
x
t
k
∑
x
t
2
x
t
1
∑
x
t
2
2
∑
x
t
2
x
t
3
…
∑
x
t
2
x
t
k
∑
x
t
3
x
t
1
∑
x
t
3
x
t
2
∑
x
t
3
2
…
∑
x
t
3
x
t
k
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
∑
x
t
k
x
t
1
∑
x
t
k
x
t
2
∑
x
t
k
x
t
3
…
∑
x
t
k
2)
(b
1
b
2
b
3
⋮
b
k)
=
(∑
x
t
1
y
t
∑
x
t
2
y
t
∑
x
t
3
y
t
⋮
∑
x
t
k
y
t)
,
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\sum x_{t1}^{2}&\sum x_{t1}x_{t2}&\sum x_{t1}x_{t3}&\ldots &\sum x_{t1}x_{tk}\\\sum x_{t2}x_{t1}&\sum x_{t2}^{2}&\sum x_{t2}x_{t3}&\ldots &\sum x_{t2}x_{tk}\\\sum x_{t3}x_{t1}&\sum x_{t3}x_{t2}&\sum x_{t3}^{2}&\ldots &\sum x_{t3}x_{tk}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum x_{tk}x_{t1}&\sum x_{tk}x_{t2}&\sum x_{tk}x_{t3}&\ldots &\sum x_{tk}^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\vdots \\b_{k}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum x_{t1}y_{t}\\\sum x_{t2}y_{t}\\\sum x_{t3}y_{t}\\\vdots \\\sum x_{tk}y_{t}\\\end{pmatrix}},}
где все суммы берутся по всем допустимым значениям
t
{\displaystyle t}
. Если в модель включена константа (как обычно), то
x
t
1
=
1
{\displaystyle x_{t1}=1}
при всех
t
{\displaystyle t}
, поэтому в левом верхнем углу матрицы системы уравнений находится количество наблюдений
n
{\displaystyle n}
, а в остальных элементах первой строки и первого столбца - просто суммы значений переменных:
∑
x
t
j
{\displaystyle \sum x_{tj}}
и первый элемент правой части системы -
∑
y
t
{\displaystyle \sum y_{t}}
. Решение этой системы уравнений и дает общую формулу МНК-оценок для линейной модели: Для аналитических целей оказывается полезным последнее представление этой формулы (в системе уравнений при делении на n, вместо сумм фигурируют средние арифметические). Если в регрессионной модели данные центрированы
, то в этом представлении первая матрица имеет смысл выборочной ковариационной матрицы факторов, а вторая - вектор ковариаций факторов с зависимой переменной. Если кроме того данные ещё и нормированы
на СКО (то есть в конечном итоге стандартизированы
), то первая матрица имеет смысл выборочной корреляционной матрицы факторов, второй вектор - вектора выборочных корреляций факторов с зависимой переменной. Немаловажное свойство МНК-оценок для моделей с константой
- линия построенной регрессии проходит через центр тяжести выборочных данных, то есть выполняется равенство: В частности, в крайнем случае, когда единственным регрессором является константа, получаем, что МНК-оценка единственного параметра (собственно константы) равна среднему значению объясняемой переменной. То есть среднее арифметическое, известное своими хорошими свойствами из законов больших чисел, также является МНК-оценкой - удовлетворяет критерию минимума суммы квадратов отклонений от неё. В случае парной линейной регрессии
y
t
=
a
+
b
x
t
+
ε
t
{\displaystyle y_{t}=a+bx_{t}+\varepsilon _{t}}
, когда оценивается линейная зависимость одной переменной от другой, формулы расчета упрощаются (можно обойтись без матричной алгебры). Система уравнений имеет вид: Отсюда несложно найти оценки коэффициентов: Несмотря на то что в общем случае модели с константой предпочтительней, в некоторых случаях из теоретических соображений известно, что константа
a
{\displaystyle a}
должна быть равна нулю. Например, в физике зависимость между напряжением и силой тока имеет вид
U
=
I
⋅
R
{\displaystyle U=I\cdot R}
; замеряя напряжение и силу тока, необходимо оценить сопротивление. В таком случае речь идёт о модели
y
=
b
x
{\displaystyle y=bx}
. В этом случае вместо системы уравнений имеем единственное уравнение
(∑
x
t
2)
b
=
∑
x
t
y
t
{\displaystyle \left(\sum x_{t}^{2}\right)b=\sum x_{t}y_{t}}
. Следовательно, формула оценки единственного коэффициента имеет вид B
^
=
∑
t
=
1
n
x
t
y
t
∑
t
=
1
n
x
t
2
=
x
y
¯
x
2
¯
{\displaystyle {\hat {b}}={\frac {\sum _{t=1}^{n}x_{t}y_{t}}{\sum _{t=1}^{n}x_{t}^{2}}}={\frac {\overline {xy}}{\overline {x^{2}}}}}
. Если данные аппроксимируются полиномиальной функцией регрессии одной переменной
f
(x)
=
b
0
+
∑
i
=
1
k
b
i
x
i
{\displaystyle f(x)=b_{0}+\sum \limits _{i=1}^{k}b_{i}x^{i}}
, то, воспринимая степени
x
i
{\displaystyle x^{i}}
как независимые факторы для каждого
i
{\displaystyle i}
можно оценить параметры модели исходя из общей формулы оценки параметров линейной модели. Для этого в общую формулу достаточно учесть, что при такой интерпретации
x
t
i
x
t
j
=
x
t
i
x
t
j
=
x
t
i
+
j
{\displaystyle x_{ti}x_{tj}=x_{t}^{i}x_{t}^{j}=x_{t}^{i+j}}
и
x
t
j
y
t
=
x
t
j
y
t
{\displaystyle x_{tj}y_{t}=x_{t}^{j}y_{t}}
. Следовательно, матричные уравнения в данном случае примут вид:
(n
∑
n
x
t
…
∑
n
x
t
k
∑
n
x
t
∑
n
x
t
2
…
∑
n
x
t
k
+
1
⋮
⋮
⋱
⋮
∑
n
x
t
k
∑
n
x
t
k
+
1
…
∑
n
x
t
2
k)
[
b
0
b
1
⋮
b
k
]
=
[
∑
n
y
t
∑
n
x
t
y
t
⋮
∑
n
x
t
k
y
t
]
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}n&\sum \limits _{n}x_{t}&\ldots &\sum \limits _{n}x_{t}^{k}\\\sum \limits _{n}x_{t}&\sum \limits _{n}x_{t}^{2}&\ldots &\sum \limits _{n}x_{t}^{k+1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _{n}x_{t}^{k}&\sum \limits _{n}x_{t}^{k+1}&\ldots &\sum \limits _{n}x_{t}^{2k}\end{pmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{0}\\b_{1}\\\vdots \\b_{k}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sum \limits _{n}y_{t}\\\sum \limits _{n}x_{t}y_{t}\\\vdots \\\sum \limits _{n}x_{t}^{k}y_{t}\end{bmatrix}}.}
В первую очередь, отметим, что для линейных моделей МНК-оценки являются линейными оценками, как это следует из вышеприведённой формулы. Для несмещенности МНК-оценок необходимо и достаточно выполнения важнейшего условия регрессионного анализа : условное по факторам математическое ожидание случайной ошибки должно быть равно нулю. Данное условие, в частности, выполнено, если Второе условие - условие экзогенности факторов - принципиальное. Если это свойство не выполнено, то можно считать, что практически любые оценки будут крайне неудовлетворительными: они не будут даже состоятельными (то есть даже очень большой объём данных не позволяет получить качественные оценки в этом случае). В классическом случае делается более сильное предположение о детерминированности факторов, в отличие от случайной ошибки, что автоматически означает выполнение условия экзогенности. В общем случае для состоятельности оценок достаточно выполнения условия экзогенности вместе со сходимостью матрицы
V
x
{\displaystyle V_{x}}
к некоторой невырожденной матрице при увеличении объёма выборки до бесконечности. Для того, чтобы кроме состоятельности и несмещенности , оценки (обычного) МНК были ещё и эффективными (наилучшими в классе линейных несмещенных оценок) необходимо выполнение дополнительных свойств случайной ошибки: Данные предположения можно сформулировать для ковариационной матрицы вектора случайных ошибок
V
(ε)
=
σ
2
I
{\displaystyle V(\varepsilon)=\sigma ^{2}I}
. Линейная модель, удовлетворяющая таким условиям, называется классической
. МНК-оценки для классической линейной регрессии являются несмещёнными , состоятельными и наиболее эффективными оценками в классе всех линейных несмещённых оценок (в англоязычной литературе иногда употребляют аббревиатуру BLUE
(Best Linear Unbiased Estimator
) - наилучшая линейная несмещённая оценка; в отечественной литературе чаще приводится теорема Гаусса - Маркова). Как нетрудно показать, ковариационная матрица вектора оценок коэффициентов будет равна: V
(b
^
O
L
S)
=
σ
2
(X
T
X)
−
1
{\displaystyle V({\hat {b}}_{OLS})=\sigma ^{2}(X^{T}X)^{-1}}
. Эффективность означает, что эта ковариационная матрица является «минимальной» (любая линейная комбинация коэффициентов, и в частности сами коэффициенты, имеют минимальную дисперсию), то есть в классе линейных несмещенных оценок оценки МНК-наилучшие. Диагональные элементы этой матрицы - дисперсии оценок коэффициентов - важные параметры качества полученных оценок. Однако рассчитать ковариационную матрицу невозможно, поскольку дисперсия случайных ошибок неизвестна. Можно доказать, что несмещённой и состоятельной (для классической линейной модели) оценкой дисперсии случайных ошибок является величина: S
2
=
R
S
S
/
(n
−
k)
{\displaystyle s^{2}=RSS/(n-k)}
. Подставив данное значение в формулу для ковариационной матрицы и получим оценку ковариационной матрицы. Полученные оценки также являются несмещёнными и состоятельными . Важно также то, что оценка дисперсии ошибок (а значит и дисперсий коэффициентов) и оценки параметров модели являются независимыми случайными величинами, что позволяет получить тестовые статистики для проверки гипотез о коэффициентах модели. Необходимо отметить, что если классические предположения не выполнены, МНК-оценки параметров не являются наиболее эффективными
и, где
W
{\displaystyle W}
- некоторая симметрическая положительно определенная весовая матрица. Обычный МНК является частным случаем данного подхода, когда весовая матрица пропорциональна единичной матрице. Как известно, для симметрических матриц (или операторов) существует разложение
W
=
P
T
P
{\displaystyle W=P^{T}P}
. Следовательно, указанный функционал можно представить следующим образом
e
T
P
T
P
e
=
(P
e)
T
P
e
=
e
∗
T
e
∗
{\displaystyle e^{T}P^{T}Pe=(Pe)^{T}Pe=e_{*}^{T}e_{*}}
, то есть этот функционал можно представить как сумму квадратов некоторых преобразованных «остатков».
Таким образом, можно выделить класс методов наименьших квадратов - LS-методы (Least Squares). Доказано (теорема Айткена), что для обобщенной линейной регрессионной модели (в которой на ковариационную матрицу случайных ошибок не налагается никаких ограничений) наиболее эффективными (в классе линейных несмещенных оценок) являются оценки т. н. обобщенного МНК (ОМНК, GLS - Generalized Least Squares)
- LS-метода с весовой матрицей, равной обратной ковариационной матрице случайных ошибок:
W
=
V
ε
−
1
{\displaystyle W=V_{\varepsilon }^{-1}}
. Можно показать, что формула ОМНК-оценок параметров линейной модели имеет вид B
^
G
L
S
=
(X
T
V
−
1
X)
−
1
X
T
V
−
1
y
{\displaystyle {\hat {b}}_{GLS}=(X^{T}V^{-1}X)^{-1}X^{T}V^{-1}y}
. Ковариационная матрица этих оценок соответственно будет равна V
(b
^
G
L
S)
=
(X
T
V
−
1
X)
−
1
{\displaystyle V({\hat {b}}_{GLS})=(X^{T}V^{-1}X)^{-1}}
. Фактически сущность ОМНК заключается в определенном (линейном) преобразовании (P) исходных данных и применении обычного МНК к преобразованным данным. Цель этого преобразования - для преобразованных данных случайные ошибки уже удовлетворяют классическим предположениям. В случае диагональной весовой матрицы (а значит и ковариационной матрицы случайных ошибок) имеем так называемый взвешенный МНК (WLS - Weighted Least Squares). В данном случае минимизируется взвешенная сумма квадратов остатков модели, то есть каждое наблюдение получает «вес», обратно пропорциональный дисперсии случайной ошибки в данном наблюдении:
e
T
W
e
=
∑
t
=
1
n
e
t
2
σ
t
2
{\displaystyle e^{T}We=\sum _{t=1}^{n}{\frac {e_{t}^{2}}{\sigma _{t}^{2}}}}
. Фактически данные преобразуются взвешиванием наблюдений (делением на величину, пропорциональную предполагаемому стандартному отклонению случайных ошибок), а к взвешенным данным применяется обычный МНК. ISBN 978-5-7749-0473-0 .
(см. рисунок). Требуется найти уравнение прямой Чем меньше числа по абсолютной величине, тем лучше подобрана прямая (2). В качестве характеристики точности подбора прямой (2) можно принять сумму квадратов Условия минимума S будут Уравнения (6) и (7) можно записать в таком виде: Из уравнений (8) и (9) легко найти a и b по опытным значениям x i
и y i . Прямая (2), определяемая уравнениями (8) и (9), называется прямой,
полученной по методу наименьших квадратов (этим названием подчеркивается то,
что сумма квадратов S имеет минимум). Уравнения (8) и (9), из которых определяется
прямая (2), называются нормальными уравнениями. Можно указать простой и общий способ составления нормальных уравнений.
Используя опытные точки (1) и уравнение (2), можно записать систему уравнений для a и b Умножим левую и правую части каждого из этих уравнений на коэффициент
при первой неизвестной a (т.е. на x 1 , x 2 , ..., x n)
и сложим полученные уравнения, в результате получится первое нормальное уравнение (8). Умножим левую и правую части каждого из этих уравнений на коэффициент
при второй неизвестной b, т.е. на 1, и сложим полученные уравнения, в результате
получится второе нормальное уравнение (9). Этот способ получения нормальных уравнений является общим:
он пригоден, например, и для функции есть величина постоянная и ее нужно определить по опытным данным (1). Систему уравнений для k можно записать: Найти прямую (2) по методу наименьших квадратов. Решение.
Находим: x i =21,
y i =46,3,
x i 2 =91,
x i y i =179,1. Записываем уравнения (8) и (9) Отсюда находим Дадим оценку точности метода для линейного случая, когда имеет место уравнение (2). Пусть опытные значения x i являются точными, а опытные значения y i
имеют случайные ошибки с одинаковой дисперсией для всех i. Введем обозначение Тогда решения уравнений (8) и (9) можно представить в виде Уравнения (20) и (23) дают оценку точности коэффициентов, определенных по уравнениям (8) и (9). Заметим, что коэффициенты a и b коррелированы. Путем простых преобразований находим их корреляционный момент. Отсюда находим 0,072 при x=1 и 6, 0,041 при x=3,5. Шор. Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности.
М.:Госэнергоиздат, 1962, с. 552, С. 92-98. Настоящая книга предназначается для широкого круга инженеров (научно-исследовательских институтов,
конструкторских бюро, полигонов и заводов), занимающихся определением качества и надежности радиоэлектронной аппаратуры
и других массовых изделий промышленности (машиностроения, приборостроения, артиллерийской и т.п.). В книге дается приложение методов математической статистики к вопросам обработки и оценки результатов испытаний,
при которых определяются качество и надежность испытываемых изделий. Для удобства читателей приводятся необходимые сведения из
математической статистики, а также большое число вспомогательных математических таблиц, облегчающих проведение необходимых расчетов. Изложение иллюстрируется большим числом примеров, взятых из области радиоэлектроники и артиллерийской техники.
Пример из жизни
Я специально не стал делать вылизанные результаты, т.к. мне хотелось всего-навсего показать, как именно можно применять методы наименьших квадратов, это обучающий код. Давайте я теперь дам пример из жизни:
Энциклопедичный YouTube
Субтитры
История
Сущность метода наименьших квадратов
Пример - система линейных уравнений
МНК в регрессионном анализе (аппроксимация данных)
МНК в случае линейной регрессии
Простейшие частные случаи
Случай полиномиальной модели
Статистические свойства МНК-оценок
Взвешенный МНК
(6)
(7)
(8)
(9)
y 1 =ax 1 +b,
y 2 =ax 2 +b,
...
(10)
y n =ax n +b,
Оценка точности метода наименьших квадратов
(16)
(17)
(18)
где
(19)
Из уравнения (17) находим
(20)
Аналогично из уравнения (18) получаем
(21)
так как
(22)
Из уравнений (21) и (22) находим
(23)
Литература
