Главная Биология-репетитор Определение углового коэффициента. Как найти угловой коэффициент уравнения. уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Определение углового коэффициента. Как найти угловой коэффициент уравнения. уравнение прямой, проходящей через две данные точки

В математике одним из параметров, описывающих положение прямой на декартовой плоскости координат, является угловой коэффициент этой прямой. Этот параметр характеризует наклон прямой к оси абцисс. Чтобы понять, как найти угловой коэффициент, сначала вспомним общий вид уравнения прямой в системе координат XY.

В общем виде любую прямую можно представить выражением ax+by=c, где a, b и c - произвольные действительные числа, но обязательно a 2 + b 2 ≠ 0.

Подобное уравнение с помощью несложных преобразований можно довести до вида y=kx+d, в котором k и d - действительные числа. Число k является угловым коэффициентом, а само уравнение прямой подобного вида называется уравнением с угловым коэффициентом. Получается, что для нахождения углового коэффициента, необходимо просто привести исходное уравнение к указанному выше виду. Для более полного понимания рассмотрим конкретный пример:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 36x - 18y = 108

Решение: Преобразуем исходное уравнение.

Ответ: Искомый угловой коэффициент данной прямой равен 2.

В случае, если в ходе преобразований уравнения мы получили выражение типа x = const и не можем в результате представить y в виде функции x, то мы имеем дело с прямой, параллельной оси Х. Угловой коэффициент подобной прямой равен бесконечности.

Для прямых, которых выражены уравнением типа y = const, угловой коэффициент равняется нулю. Это характерно для прямых, параллельных оси абцисс. Например:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, заданной уравнением 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Решение: Приведем исходное уравнение к общему виду

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Из полученного выражения выразить y невозможно, следовательно угловой коэффициент данной прямой равен бесконечности, а сама прямая будет параллельна оси Y.

Геометрический смысл

Для лучшего понимания обратимся к картинке:

На рисунке мы видим график функции типа y = kx. Для упрощения примем коэффициент с = 0. В треугольнике ОАВ отношение стороны ВА к АО будет равно угловому коэффициенту k. Вместе с тем отношение ВА/АО - это тангенс острого угла α в прямоугольном треугольнике ОАВ. Получается, что угловой коэффициент прямой равняется тангенсу угла, который составляет эта прямая с осью абцисс координатной сетки.

Решая задачу, как найти угловой коэффициент прямой, мы находим тангенс угла между ней и осью Х сетки координат. Граничные случаи, когда рассматриваемая прямая параллельна осям координат, подтверждают вышенаписанное. Действительно для прямой, описанной уравнением y=const, угол между ней и осью абцисс равен нулю. Тангенс нулевого угла также равен нулю и угловой коэффициент тоже равен нулю.

Для прямых, перпендикулярных оси абцисс и описываемых уравнением х=const, угол между ними и осью Х равен 90 градусов. Тангенс прямого угла равен бесконечности, так же и угловой коэффициент подобных прямых равен бесконечности, что подтверждает написанное выше.

Угловой коэффициент касательной

Распространенной, часто встречающейся на практике, задачей является также нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в некоторой точке. Касательная - это прямая, следовательно к ней также применимо понятие углового коэффициента.

Чтобы разобраться, как найти угловой коэффициент касательной, нам будет необходимо вспомнить понятие производной. Производная от любой функции в некоторой точке - это константа, численно равная тангенсу угла, который образуется между касательной в указанной точке к графику этой функции и осью абцисс. Получается, что для определения углового коэффициента касательной в точке x 0 , нам необходимо рассчитать значение производной исходной функции в этой точке k = f"(x 0). Рассмотрим на примере:

Задача: Найти угловой коэффициент линии, касательной к функции y = 12x 2 + 2xe x при х = 0,1.

Решение: Найдем производную от исходной функции в общем виде

y"(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1

Ответ: Искомый угловой коэффициент в точке х = 0,1 равен 4,831

На рисунке показан угол наклона прямой и указано значение углового коэффициента при различных вариантах расположения прямой относительно прямоугольной системы координат.

Нахождение углового коэффициента прямой при известном угле наклона к оси Ox не представляет никаких сложностей. Для этого достаточно вспомнить определение углового коэффициента и вычислить тангенс угла наклона.

Пример.

Найдите угловой коэффициент прямой, если угол ее наклона к оси абсцисс равен .

Решение.

По условию . Тогда по определению углового коэффициента прямой вычисляем .

Ответ:

Задача нахождения угла наклона прямой к оси абсцисс при известном угловом коэффициенте немного сложнее. Здесь необходимо учитывать знак углового коэффициента. При угол наклона прямой является острым и находится как . При угол наклона прямой является тупым и его можно определить по формуле .

Пример.

Определите угол наклона прямой к оси абсцисс, если ее угловой коэффициент равен 3 .

Решение.

Так как по условию угловой коэффициент положителен, то угол наклона прямой к оси Ox острый. Его вычисляем по формуле .

Ответ:

Пример.

Угловой коэффициент прямой равен . Определите угол наклона прямой к оси Ox .

Решение.

Обозначим k – угловой коэффициент прямой, - угол наклона этой прямой к положительному направлению оси Ox . Так как , то используем формулу для нахождения угла наклона прямой следующего вида . Подставляем в нее данные из условия: .

Ответ:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

Давайте разберемся со смыслом фразы: «прямая на плоскости в фиксированной системе координат задана уравнением с угловым коэффициентом вида ». Это означает, что уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не удовлетворяют координаты никаких других точкек плоскости. Таким образом, если при подстановке координат точки получается верное равенство, то прямая проходит через эту точку. В противном случае точка не лежит на прямой.

Пример.

Прямая задана уравнением с угловым коэффициентом . Принадлежат ли точки и этой прямой?

Решение.

Подставим координаты точки в исходное уравнение прямой с угловым коэффициентом: . Мы получили верное равенство, следовательно, точка М 1 лежит на прямой.

При подстановке координат точки получаем неверное равенство: . Таким образом, точка М 2 не лежит на прямой.

Ответ:

Точка М 1 принадлежит прямой, М 2 – не принадлежит.

Следует отметить, что прямая, определенная уравнением прямой с угловым коэффициентом , проходит через точку , так как при подстановке ее координат в уравнение мы получаем верное равенство: .

Таким образом, уравнение прямой с угловым коэффициентом определяет на плоскости прямую, проходящую через точку и образующую угол с положительным направлением оси абсцисс, причем .

В качестве примера изобразим прямую, определяемую уравнением прямой с угловым коэффициентом вида . Эта прямая проходит через точку и имеет наклон радиан (60 градусов) к положительному направлению оси Ox . Ее угловой коэффициент равен .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку.

Сейчас решим очень важную задачу: получим уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящую через точку .

Так как прямая проходит через точку , то справедливо равенство . Число b нам неизвестно. Чтобы избавиться от него, вычтем из левой и правой частей уравнения прямой с угловым коэффициентом соответственно левую и правую части последнего равенства. При этом получим . Это равенство представляет собой уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k , которая проходит через заданную точку .

Рассмотрим пример.

Пример.

Напишите уравнение прямой, проходящей через точку , угловой коэффициент этой прямой равен -2 .

Решение.

Из условия имеем . Тогда уравнение прямой с угловым коэффициентом примет вид .

Ответ:

Пример.

Напишите уравнение прямой, если известно, что она проходит через точку и угол наклона к положительному направлению оси Ox равен .

Решение.

Сначала вычислим угловой коэффициент прямой, уравнение которой мы ищем (такую задачу мы решали в предыдущем пункте этой статьи). По определению . Теперь мы располагаем всеми данными, чтобы записать уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Ответ:

Пример.

Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом, проходящую через точку параллельно прямой .

Решение.

Очевидно, что углы наклона параллельных прямых к оси Ox совпадают (при необходимости смотрите статью параллельность прямых), следовательно, угловые коэффициенты у параллельных прямых равны. Тогда угловой коэффициент прямой, уравнение которой нам нужно получить, равен 2 , так как угловой коэффициент прямой равен 2 . Теперь мы можем составить требуемое уравнение прямой с угловым коэффициентом:

Ответ:

Переход от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения прямой и обратно.

При всей привычности уравнение прямой с угловым коэффициентом далеко не всегда удобно использовать при решении задач. В некоторых случаях задачи проще решаются, когда уравнение прямой представлено в другом виде. К примеру, уравнение прямой с угловым коэффициентом не позволяет сразу записать координаты направляющего вектора прямой или координаты нормального вектора прямой . Поэтому следует научиться переходить от уравнения прямой с угловым коэффициентом к другим видам уравнения этой прямой.

Из уравнения прямой с угловым коэффициентом легко получить каноническое уравнение прямой на плоскости вида . Для этого из правой части уравнения переносим слагаемое b в левую часть с противоположным знаком, затем делим обе части полученного равенства на угловой коэффициент k : . Эти действия приводят нас от уравнения прямой с угловым коэффициентом к каноническому уравнению прямой.

Пример.

Приведите уравнение прямой с угловым коэффициентом к каноническому виду.

Решение.

Выполним необходимые преобразования: .

Ответ:

Пример.

Прямая задана уравнением прямой с угловым коэффициентом . Является ли вектор нормальным вектором этой прямой?

Решение.

Для решения этой задачи перейдем от уравнения прямой с угловым коэффициентом к общему уравнению этой прямой: . Нам известно, что коэффициенты перед переменными x и y в общем уравнении прямой являются соответствующими координатами нормального вектора этой прямой, то есть, - нормальный вектор прямой . Очевидно, что вектор коллинеарен вектору , так как справедливо соотношение (при необходимости смотрите статью ). Таким образом, исходный вектор также является нормальным вектором прямой , а, следовательно, является нормальным вектором и исходной прямой .

Ответ:

Да, является.

А сейчас будем решать обратную задачу – задачу приведения уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой с угловым коэффициентом.

От общего уравнения прямой вида , в котором , очень легко перейти к уравнению с угловым коэффициентом. Для этого нужно общее уравнение прямой разрешить относительно y . При этом получаем . Полученное равенство представляет собой уравнение прямой с угловым коэффициентом, равным .

В предыдущей главе было показано, что, выбрав определенную систему координат на плоскости, мы можем геометрическое свойства, характеризующее точки рассматриваемой линии, выразить аналитически уравнением между текущими координатами. Таким образом, мы получим уравнение линии. В этой главе будут рассматриваться уравнения прямых линий.

Чтобы составить уравнение прямой в декартовых координатах, нужно каким-то образом задать условия, определяющие положение ее относительно координатных осей.

Предварительно мы введем понятие об угловом коэффициенте прямой, который является одной из величин, характеризующих положение прямой на плоскости.

Назовем углом наклона прямой к оси Ох тот угол, на который нужно повернуть ось Ох, чтобы она совпала с данной прямой (или оказалась параллельной ей). Как обычно, угол будем рассматривать с учетом знака (знак определяется направлением поворота: против или по часовой стрелке). Так как добавочный поворот оси Ох на угол в 180° снова совместит ее с прямой, то угол наклона прямой к оси может быть выбран не однозначно (с точностью до слагаемого, кратного ).

Тангенс этого угла определяется однозначно (так как изменение угла на не меняет его тангенса).

Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой.

Угловой коэффициент характеризует направление прямой (мы здесь не различаем двух взаимно противоположных направлений прямой). Если угловой коэффициент прямой равен нулю, то прямая параллельна оси абсцисс. При положительном угловом коэффициенте угол наклона прямой к оси Ох будет острым (мы рассматриваем здесь наименьшее положительное значение угла наклона) (рис. 39); при этом чем больше угловой коэффициент, тем больше угол ее наклона к оси Ох. Если угловой коэффициент отрицателен, то угол наклона прямой к оси Ох будет тупым (рис. 40). Заметим, что прямая, перпендикулярная к оси Ох, не имеет углового коэффициента (тангенс угла не существует).

Численно равен тангенсу угла (составляющего наименьший поворот от оси Ox к оси Оу) между положительным направлением оси абсцисс и данной прямой линией.

Тангенс угла может рассчитываться как отношение противолежащего катета к прилежащему. k всегда равен , то есть производной уравнения прямой по x .

При положительных значениях углового коэффициента k и нулевом значении коэффициента сдвига b прямая будет лежать в первом и третьем квадрантах (в которых x и y одновременно положительны и отрицательны). При этом большим значениям углового коэффициента k будет соответствовать более крутая прямая, а меньшим - более пологая.

Прямые и перпендикулярны, если , а параллельны при .

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Ифит (царь Элиды)
Список Указов Президента РФ «О награждении государственными наградами» за 2001 год

Смотреть что такое "Угловой коэффициент прямой" в других словарях:

угловой коэффициент (прямой) - — Тематики нефтегазовая промышленность EN slope … Справочник технического переводчика

Угловой коэффициент - (математическое) число k в уравнении прямой линии на плоскости у = kx+b (см. Аналитическая геометрия), характеризующее наклон прямой относительно оси абсцисс. В прямоугольной системе координат У. к. k = tg φ, где φ угол между… … Большая советская энциклопедия

Уравнения прямой

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ - раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Создание аналитической геометрии обычно приписывают Р.Декарту, изложившему ее основы в последней главе своего… … Энциклопедия Кольера

Время реакции (reaction time) - Измерение времени реакции (ВР), вероятно, самый почтенный предмет в эмпирической психологии. Оно зародилось в области астрономии, в 1823 г., с измерением индивидуальных различий в скорости восприятия пересечения звездой линии риски телескопа. Эти … Психологическая энциклопедия

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ - раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и … Энциклопедия Кольера

Прямая - У этого термина существуют и другие значения, см. Прямая (значения). Прямая одно из основных понятий геометрии, то есть точного универсального определения не имеет. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно… … Википедия

Прямая линия - Изображение прямых в прямоугольной системе координат Прямая одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется… … Википедия

Прямые - Изображение прямых в прямоугольной системе координат Прямая одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется… … Википедия

Малая полуось - Не следует путать с термином «Эллипсис». Эллипс и его фокусы Эллипс (др. греч. ἔλλειψις недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1… … Википедия

Прямые и перпендикулярны, если , а параллельны при .

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Угловой коэффициент прямой" в других словарях:

- (математическое) число k в уравнении прямой линии на плоскости у = kx+b (см. Аналитическая геометрия), характеризующее наклон прямой относительно оси абсцисс. В прямоугольной системе координат У. к. k = tg φ, где φ угол между… … Большая советская энциклопедия

Раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Создание аналитической геометрии обычно приписывают Р.Декарту, изложившему ее основы в последней главе своего… … Энциклопедия Кольера

Измерение времени реакции (ВР), вероятно, самый почтенный предмет в эмпирической психологии. Оно зародилось в области астрономии, в 1823 г., с измерением индивидуальных различий в скорости восприятия пересечения звездой линии риски телескопа. Эти … Психологическая энциклопедия

Раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и … Энциклопедия Кольера

У этого термина существуют и другие значения, см. Прямая (значения). Прямая одно из основных понятий геометрии, то есть точного универсального определения не имеет. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно… … Википедия

Изображение прямых в прямоугольной системе координат Прямая одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется… … Википедия

Не следует путать с термином «Эллипсис». Эллипс и его фокусы Эллипс (др. греч. ἔλλειψις недостаток, в смысле недостатка эксцентриситета до 1) геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек F1… … Википедия