Решить неравенство с модулем онлайн с решением. Исследовательская работа на тему "решение неравенств с модулем". Переменная как под модулем, так и вне модуля

Математика является символом мудрости науки ,

образцом научной строгости и простоты ,

эталоном совершенства и красоты в науке.

Российский философ, профессор А.В. Волошинов

Неравенства с модулем

Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются неравенства , содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких неравенств необходимо хорошо знать свойства модуля и иметь навыки их использования.

Основные понятия и свойства

Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:

К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:

И .

Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.

Кроме того , если , где , то и

Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений и неравенств с модулями , формулируются посредством следующих теорем:

Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство .

Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .

Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .

Наиболее распространенными в школьной математике неравенствами , содержащие неизвестные переменные под знаком модуля , являются неравенства вида и , где некоторая положительная константа.

Теорема 4. Неравенство равносильно двойному неравенству , а решение неравенства сводится к решению совокупности неравенств и .

Данная теорема является частным случаем теорем 6 и 7.

Более сложными неравенствами , содержащие модуль, являются неравенства вида , и .

Методы решения таких неравенств можно сформулировать посредством следующих трех теорем.

Теорема 5. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств

И (1)

Доказательство. Так как , то

Отсюда вытекает справедливость (1).

Теорема 6. Неравенство равносильно системе неравенств

Доказательство. Так как , то из неравенства следует , что . При таком условии неравенство и при этом вторая система неравенств (1) окажется несовместной.

Теорема доказана.

Теорема 7. Неравенство равносильно совокупности одного неравенства и двух систем неравенств

И (3)

Доказательство. Поскольку , то неравенство всегда выполняется , если .

Пусть , тогда неравенство будет равносильно неравенству , из которого вытекает совокупность двух неравенств и .

Теорема доказана.

Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Неравенства , содержащие переменные под знаком модуля».

Решение неравенств с модулем

Наиболее простым методом решения неравенств с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. Поэтому учащиеся должны знать и другие (более эффективные) методы и приемы решения таких неравенств. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.

Пример 1. Решить неравенство

. (4)

Решение. Неравенство (4) будем решать «классическим» методом – методом раскрытия модулей. С этой целью разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.

1. Если , то , , , и неравенство (4) принимает вид или .

Так как здесь рассматривается случай , то является решением неравенства (4).

2. Если , то из неравенства (4) получаем или . Так как пересечение интервалов и является пустым , то на рассматриваемом интервале решений неравенства (4) нет.

3. Если , то неравенство (4) принимает вид или . Очевидно , что также является решением неравенства (4).

Ответ: , .

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Положим , что . Так как , то заданное неравенство принимает вид или . Поскольку , то и отсюда следует или .

Однако , поэтому или .

Пример 3. Решить неравенство

. (5)

Решение. Так как , то неравенство (5) равносильно неравенствам или . Отсюда , согласно теореме 4 , имеем совокупность неравенств и .

Ответ: , .

Пример 4. Решить неравенство

. (6)

Решение. Обозначим . Тогда из неравенства (6) получаем неравенства , , или .

Отсюда , используя метод интервалов , получаем . Так как , то здесь имеем систему неравенств

Решением первого неравенства системы (7) является объединение двух интервалов и , а решением второго неравенства – двойное неравенство . Отсюда следует , что решение системы неравенств (7) представляет собой объединение двух интервалов и .

Ответ: ,

Пример 5. Решить неравенство

. (8)

Решение. Преобразуем неравенство (8) следующим образом:

Или .

Применяя метод интервалов , получаем решение неравенства (8).

Ответ: .

Примечание. Если в условии теоремы 5 положить и , то получим .

Пример 6. Решить неравенство

. (9)

Решение. Из неравенства (9) следует . Преобразуем неравенство (9) следующим образом:

Или

Так как , то или .

Ответ: .

Пример 7. Решить неравенство

. (10)

Решение. Так как и , то или .

В этой связи и неравенство (10) принимает вид

Или

. (11)

Отсюда следует, что или . Так как , то и из неравенства (11) вытекает или .

Ответ: .

Примечание. Если к левой части неравенства (10) применить теорему 1 , то получим . Отсюда и из неравенства (10) следует , что или . Так как , то неравенство (10) принимает вид или .

Пример 8. Решить неравенство

. (12)

Решение. Так как , то и из неравенства (12) следует или . Однако , поэтому или . Отсюда получаем или .

Ответ: .

Пример 9. Решить неравенство

. (13)

Решение. Согласно теореме 7 решением неравенства (13) являются или .

Пусть теперь . В таком случае и неравенство (13) принимает вид или .

Если объединить интервалы и , то получим решение неравенства (13) вида .

Пример 10. Решить неравенство

. (14)

Решение. Перепишем неравенство (14) в равносильном виде: . Если к левой части данного неравенства применить теорему 1, то получим неравенство .

Отсюда и из теоремы 1 следует , что неравенство (14) выполняется для любых значений .

Ответ: любое число.

Пример 11. Решить неравенство

. (15)

Решение. Применяя теорему 1 к левой части неравенства (15) , получаем . Отсюда и из неравенства (15) вытекает уравнение , которое имеет вид .

Согласно теореме 3 , уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем .

Пример 12. Решить неравенство

. (16)

Решение . Из неравенства (16), согласно теореме 4, получаем систему неравенств

При решении неравенства воспользуемся теоремой 6 и получим систему неравенств из которой следует .

Рассмотрим неравенство . Согласно теореме 7 , получаем совокупность неравенств и . Второе неравенство совокупности справедливо для любого действительного .

Следовательно , решением неравенства (16) являются .

Пример 13. Решить неравенство

. (17)

Решение. Согласно теореме 1 можно записать

(18)

Принимая во внимание неравенство (17), делаем вывод о том, что оба неравенства (18) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений

По теореме 3 данная система уравнений равносильна системе неравенств

или

Пример 14. Решить неравенство

. (19)

Решение. Так как , то . Умножим обе части неравенства (19) на выражение , которое для любых значений принимает только положительные значения. Тогда получим неравенство, которое равносильно неравенству (19), вида

Отсюда получаем или , где . Так как и , то решением неравенства (19) являются и .

Ответ: , .

Для более глубокого изучения методов решения неравенств с модулем можно посоветовать обратиться к учебным пособиям , приведенных в списке рекомендованной литературы.

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: методы решения и доказательства неравенств. – М.: Ленанд / URSS , 2018. – 264 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Чем больше человек понимает, тем сильнее в нем желание понимать

Фома Аквинский

Метод интервалов позволяет решать любые уравнения, содержащие модуль. Суть этого метода в том, чтобы разбить числовую ось на несколько участков (интервалов), причем разбить ось нужно именно нулями выражений, стоящих в модулях. Затем на каждом из получившихся участков всякое подмодульное выражение либо положительно, либо отрицательно. Поэтому каждый из модулей может быть раскрыт или со знаком минус, или со знаком плюс. После этих действий остается лишь решить каждое из полученных простых уравнений на рассматриваемом интервале и объединить полученные ответы.

Рассмотрим данный метод на конкретном примере.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Найдем нули выражений, стоящих в модулях. Для этого нужно приравняем их к нулю, и решить полученные уравнения.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Расставим получившиеся точки в нужном порядке на координатной прямой. Они разобьют всю ось на четыре участка.

3) Определим на каждом из получившихся участков знаки выражений, стоящих в модулях. Для этого подставляем в них любые числа с интересующих нас интервалов. Если результат вычислений – число положительное, то в таблице ставим «+», а если число отрицательное, то ставим «–». Это можно изобразить так:

4) Теперь будем решать уравнение на каждом из четырех интервалов, раскрывая модули с теми знаками, которые проставлены в таблице. Итак, рассмотрим первый интервал:

I интервал (-∞; -3). На нем все модули раскрываются со знаком «–». Получим следующее уравнение:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Приведем подобные слагаемые, раскрыв предварительно скобки в полученном уравнении:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

Полученный ответ не входит в рассматриваемый интервал, поэтому в окончательный ответ писать его не надо.

II интервал [-3; -1). На этом интервале в таблице стоят знаки «–», «–», «+». Именно так и раскрываем модули исходного уравнения:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Упростим, раскрыв при этом скобки:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Приведем в полученном уравнении подобные:

x = 6/5. Полученное число не принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому оно не является корнем исходного уравнения.

III интервал [-1; 2). Раскрываем модули исходного уравнения с теми знаками, которые стоят на рисунке в третьей колонке. Получаем:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Избавимся от скобок, перенесем слагаемые, содержащие переменную x в левую часть уравнения, а не содержащие x в правую. Будем иметь:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

В рассматриваемый интервал число 2 не входит.

IV интервал

Пример решен.

Пример 3 . Решить неравенство 6 х 2 - | х | - 2 ≤ 0

Решение .

Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х < 0. При х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля:

6х 2 - х - 2 ≤ 0.

Теперь о втором случае: если х < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6х 2 - (-х ) - 2 ≤ 0.

Раскрываем скобки:

6х 2 + х - 2 ≤ 0.

Таким образом, мы получили две системы уравнений:

6х 2 - х - 2 ≤ 0
х ≥ 0

6х 2 + х - 2 ≤ 0
х < 0

Надо решить неравенства в системах - а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю.

Начнем с первого:

6х 2 - х - 2 = 0.

Как решается квадратное уравнение - см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ:

х 1 = -1/2, х 2 = 2/3.

Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от -1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Теперь решим второе квадратное уравнение:

6х 2 + х - 2 = 0.

Его корни:

х 1 = -2/3, х 2 = 1/2.

Вывод: при х < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от -2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа.

Ответ : -2/3 ≤ х ≤ 2/3.

Или: х ∈ [-2/3; 2/3].